Gotovo tri desetljeća nakon što je Andrew Wiles dokazom modularnosti za eliptičke krivulje srušio posljednji Fermatov mit, nova se pukotina otvorila u zidu takozvanog Langlandsova programa. Četiri su matematičara – Frank Calegari (Sveučilište u Chicagu), George Boxer i Toby Gee (Imperial College London) te Vincent Pilloni (CNRS) – objavila 230-strani rad kojim dokazuju da svaka obična abelova površina ima pripadni modularni oblik.
„We mostly believe that all the conjectures are true, but it’s so exciting to see it actually realized… in a case that you really thought was going to be out of reach”, komentirala je kolegica Ana Caraiani s londonskog Imperiala, naglasivši koliko je rezultat iznenađujuć čak i onima koji u modularnost općenito vjeruju.
Dok je eliptička krivulja dvodimenzionalna jednadžba u varijablama x i y, abelova površina dodaje treću varijablu i prelazi u trodimenzionalni svijet. Upravo ta dodatna složenost desetljećima je blokirala pokušaje da se modularnost proširi izvan Wiles-Taylorove zone komfora. Calegari i kolege na problemu su radili od 2016., svjesni da „objekt koji se uistinu pojavljuje u praksi” nudi daleko atraktivniji plijen od apstraktnih konstrukcija, kako je Calegari objasnio.
Ključni preokret donio je rad brojača Luea Pana iz 2020., čije su tehnike četvorica prilagodila vlastitim potrebama. Ljetni maraton u podrumu bonnskog Hausdorff instituta – 12-satni dani uz kratke izlaske po kavu – dao je osnovu za cjelovit dokaz, a još godinu i pol trebalo je da se djelo dotjera i postavi na internet u veljači.
Rezultat otvara nova vrata: od mogućnosti formuliranja analoga danas milijun dolara vrijedne Birch-Swinnerton-Dyerove pretpostavke pa do rješavanja niza drugih pitanja koja su dosad bila izvan dosega. Andrew Sutherland s MIT-a kaže da su „mnoge stvari o kojima sam samo sanjao sada dohvatljive”.
Tim se već udružio s Panom kako bi modularnost proširio i na ne-obične abelove površine. Gee procjenjuje da bi „za deset godina” većina tih slučajeva mogla biti riješena, što bi Langlandsov program približilo onomu što mnogi nazivaju „velikom unificiranom teorijom” matematike.