Stojimo li usred livade, čini nam se da je Zemlja ravna. Ista varka vrijedi i za mnoge druge oblike: mrav na njima vidi samo ravninu, premda je globalna struktura puno složenija. Takve oblike matematičari nazivaju manifoldima – prostornim mnoštvima koja lokalno izgledaju euklidski, premda mogu imati zakrivljenu ili zapetljanu cjelokupnu geometriju.
Riemannovo otkriće koje je promijenilo pojam prostora
Ideju je 1854. iznio njemački matematičar Bernhard Riemann. U predavanju na Sveučilištu u Göttingenu općenito je opisao geometriju bilo kojeg broja dimenzija, proširujući dotadašnje Gaussove radove o zakrivljenim plohama. Većina je suvremenika ideju smatrala previše apstraktnom; objavljena je tek posmrtno 1868. No do kraja 19. stoljeća značaj su prepoznali Henri Poincaré i drugi velikani, a 1915. ju je u opisu gravitacije upotrijebio Albert Einstein, pretvorivši manifolde u temelje opisa svemira.
Što točno jest manifold?
Manifold je prostor koji se u svakoj točki može "zumirati" tako da nalikuje običnoj ravnini (u 2D), pravcu (u 1D) ili općenito euklidskom prostoru odgovarajuće dimenzije. Kružnica je stoga jednodimenzionalni manifold: lokalno je ravna crta. Nasuprot tome, lik osmice zbog samopresjeka nije manifold jer nema jedinstvenu lokalnu ravninu.
Kako bi se složeni oblici analizirali, matematičari ih razlažu na preklapajuće karte, a skup svih karata naziva se atlas. Na svakoj karti vrijede pravila klasičnog računa, a rezultati se zatim "zašivaju" u globalnu sliku manifolda.
Zašto su važni?
Manifolidi uklanjaju dvosmislenosti koje nastaju kad isti objekt promatramo u različitim ambijentima. Konop petljan u tri dimenzije može biti čvor ili jednostavna petlja, ali kao jednodimenzionalni manifold on je uvijek ista kružnica; razlikuju se tek svojstva uronjena u 3D-prostor.
"Ako znam ćirilicu, znači li to da znam ruski? Ne. Ali pokušajte naučiti ruski bez ćirilice", slikovito objašnjava talijanski matematičar Fabrizio Bianchi, naglašavajući koliko je manifoldima postao temeljni jezik suvremene matematike.
Sličnu sveprisutnost ističe i fizičar s Princetona Jonathan Sorce: „Toliko se fizike svodi na razumijevanje geometrije, i to često na iznenađujuće načine”.
Od svemira do podataka
• Opis gravitacije: opće relativnosti prikazuje prostor-vrijeme kao četverodimenzionalni zakrivljeni manifold.
• Dinamički sustavi: gibanje dvostrukog njihala – dvije spojene klatne čija mala početna razlika vodi ka kaotičnim putanjama – može se prikazati točkama i putovima na torusu (obliku krafne), što olakšava analizu.
• Algebra i podaci: rješenja kompliciranih jednadžbi, ali i ogromni skupovi neuronskih podataka, često se „spuštaju” na nižedimenzionalne manifolde kako bi se otkrile skrivene strukture.
Danas se – od geometrije i topologije do robotike i analize „velikih podataka” – rijetko pronađe grana matematike ili fizike u kojoj se ne pojavljuje pojam manifolda. Kao što je alfabet nužan za jezik, manifold je postao abeceda modernog razmišljanja o prostoru.